感悟思想方法  提升思维能力

——“数图形的学问”教学实录与评析

丁  慧   执教  （安徽省六安市城北小学）

方家社   评析  （安徽省六安市城北小学）

 

教学内容：北师大版四年级上册《数图形的学问》。

教学目标：

1.结合问题情境，使学生经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，并利用多样化的画图策略解决问题的过程，发展几何直观。

2.在数图形的过程中，使学生逐步形成有序思考的良好习惯，发展推理能力。

3.在发现规律的过程中，使学生能够独立思考和自主探究，有条理地表达解决问题的过程和结果，增强学习的自信心，提高对数学问题探索的兴趣。

教学过程：

一、创设情境、谈话激趣

呈现“鼹鼠钻洞”情境。

师：老师带来一位大家熟悉的朋友小鼹鼠。小鼹鼠不喜欢总呆在那黑暗的地洞里，很想来一次钻洞旅行！

 

 

二、自主学习、探究新知

（一）活动一：鼹鼠可以怎样钻洞

师：“任选一个洞口钻进去，再任选一个洞口钻出来！”小鼹鼠可以怎么钻呢?

生1：可以从那个洞钻到那个洞。

师：你们知道他说的是哪两个洞？

生2：不知道，可能是第一个洞到第二个洞，也可能是第一个洞到第三个洞。

师：你是按洞的位置不同给标上序号，这样说的大家都清楚了。生1，你说的是哪两个洞？

生1：（笑着说）第一个洞到第二个洞。

师：为了说得清楚明白，不妨将四个洞口按位置不同分别称作A、B、C、D洞（投影出示）。请同位互相说一说，小鼹鼠任选一个洞口钻进去，再任选一个洞口钻出来，它可以怎样钻？

（学生互相说：AB AC BD BA …）

      师：同学们说得真好，可小鼹鼠妈妈提要求了，请看（出示）：“任选一个洞口钻进去，向前走，再任选一个洞口钻出来！” 

    师：谁能告诉小鼹鼠“向前走”是什么意思呢?

    生：“向前走”就是一定不能走回头的路。

    师：你的提醒很重要！如果按照鼹鼠妈妈的要求，小鼹鼠应该怎么钻呢？

（学生交流汇报：AB,AC,CD...)

【评析】鼹鼠钻洞的情境儿童喜闻乐见，激起了学习兴趣；通过对“可以怎样钻洞”的两次思考，一方面让学生明确了问题的含义，另一方面也让学生初步体验了有序表达的关键—-分类思想、符号表示的简洁，激活了学生思维，为后面的将生活中问题抽象成数学问题奠定了基础。

活动二：探究一共有多少种不同的路线

1、想一想 画一画  

师：说了这么多种钻法，小鼹鼠想弄清楚（出示）“一共有多少种不同的路线？你们能帮助小鼹鼠解决这个问题吗？

出示提示：想一想，怎样用示意图表示题意，看谁画的简明？再来帮助小鼹鼠数一数，怎样做到不重复不遗漏？

（学生活动：思考后画一画，再讨论交流）

引导交流。

师：交流时要说明是用什么方法解决这个问题的，即讲清是怎么画的、怎么数的。

 

 

 

 

 

 

生1：我是用圆圈表示洞口，然后一个洞口一个洞口数。（如图1）

生2:我是用四个点A,B,C,D表示四个洞口，两点间的线段表示路段。我是这样数的：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共六种不同的路线。（如图2）

生3：我也是用四个点A,B,C,D表示四个洞口，两点间的线段表示路段。我数出来也共六种不同的路线：AB,BC,CD,AC,BD,AD. （如图3） 

2、比一比 议一议

师：对他们的做法你有什么评价？

生4：我和生2的画法一样，感觉生1的画法有点麻烦；

生5：我也觉得生1的不简洁，画时耽误很多时间；

师：是的，生1画的是实物简图，也能帮助分析问题，但不简明。

师：生2和生3画的是什么图？他们的思考有什么相同的地方？

生6：他们画的是线段图，用点表示洞口，用两点间的线段表示路线。这样简明地表示出题目意思。

3、反思抽象(课件出示)

师：是的，我们可以用点表示洞口，两点间的线段表示路段，并标上不同的字母。那么，小鼹鼠从第一洞口到第二个洞口的路线我们就可以用线段AB表示，多直观简明呀！这样要解决“小鼹鼠有多少条不同的路线”，我们只要数出有多少条不同的线段就可以了！

4、揭示课题：《数图形的学问》。

师：今天我们一起学习的就是《数图形的学问》！“数图形”究竟有哪些学问呢，答案就在同学们的思考中！

5、探讨怎样数不重复不遗漏。

师（再次出示图1、图2、图3）:如果要把他们三位同学的数法分分类，你想怎么分？同桌先相互说一说再汇报。

生7：生1和生2是按出发点顺序数的。

生8：生3是先数短的线段再数长的线段。

师板书：他们分别是按出发点、线段长短数的！

（课件演示两种数法，再次展示数的过程）

师：怎样列式？  生答后板书：3+2+1=6

师：议一议，为什么这样数不重复、不遗漏？

生9：按出发点顺序数，就是将线段按起点不同分成了三类；

生10：按线段长短不同来数，就是将线段按长短不同也分成了三类，一类一类数，既不重复、也不遗漏。

师：说的真好！（学生自动鼓起掌）

6、小结梳理

师：同学们真了不起，帮助小鼹鼠接解决了旅行中的难题！回忆一下，刚才我们是怎样解决这个问题的？

生11：先画示意图，再按一定的顺序数一数；

师：是的，以后如果再遇到这样数路线的问题，可以先画一画示意图，转化为数线段来解决。数的时候，按照一定的顺序才能做到不重复不遗漏。（板书：顺序）

   【评析】本活动分两个层次完成，先是让学生经历将生活中问题抽象成“数图形”的数学问题，再引导学生思考总结数图形的方法。教师从学生的经验出发，通过问题引领，使学生在观察、思考、操作、比较中感悟出有顺序地数的关键是合理分类，一类一类数，既不重复、也不遗漏，较好地落实了提升了学生思维品质目标；整个活动分六个步骤完成，层层深入，环环相扣，让学生完整地经历了“从头到尾的思考过程”。

三、解决问题 ，发现规律。

师：小鼹鼠在同学的帮助下有了一次快乐的钻洞旅行！此时它又将开始它的菜地之旅！

（呈现“菜地旅行”情境）

 

活动三：单程需要准备多少种不同的车票？

师：你看到几个汽车站？

生1：5个。

师：你知道“单程”是什么意思吗？

生2：“单程”就是去了不走回头路。

师:说的很好！比如从红薯站到茄子站需要一种车票，但不用返回就是单程。

师：同学们解决这样的问题有经验了吗？下面就用你学到的本领试一试。

（学生独立思考解决，找一人板演并汇报思考过程）

生3（板演者）：我是画线段图的，用五个点表示五个汽车站，用两点间的线段表路线。然后按出发点数有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条。

（生汇报师适时记录）算式：4+3+2+1=10

师:哦，他是把数车票种类的问题也转化为数线段来解决！还有其他数法吗？

生4：我是按线段长短数的AB,BC,CD,DE,AC,BD,CE,AD,BE, AE。算式也是4+3+2+1=10。

   【评析】该问题学生运用迁移规律可顺利解决，教师不多言语，而是让学生自主学习，独立解答，彰显教师灵活的教法；这样不仅巩固了新知，加深了对新知的理解，也为后面的发现规律、建构模型积累经验。

 

活动四：探索规律

师：看来大家解决这样的问题确实经验丰富了！

师：请看黑板（指图4——板书一部分）想一想猜一猜，如果有6个汽车站一共有多少种不同的车票？（6个站点）

生4：可能是15种，生5：可能是15种，……

师：为什么这样猜 ？

生5：4个点算式是 3+2+1=6，5个站点算式是4+3+2+1=10，6个站点我想应是5+4+3+2+1=15。

师：你能联系前面的算式来思考，非常好！你们同意他的想法吗？用你学过的方法验证吧！

生独立尝试验证，汇报：

生6：我画出图按出发点来数一共15种。

生7：我是画出图按线段长短数也是15种。

师：同学们都验证是15种吗，看来站点数和所需要的单程票数之间还有规律呢，想找到吗？

师：试一试，如果有7个汽车站，一共有多少种不同的车票？你能很快写出算式吗？

生8：6个站点是5+4+3+2+1=15，7个站点是6+5+4+3+2+1=21种；

生9：我发现有几个汽车站就从比它少1的数开始加，一直加到1。

   生10：我发现增加一个汽车站增加的车票数就是前一个站点数！

师：让我们来借助图形看一看,六个汽车站单程有15种车票，想一想增加一个站点增加几种车票呢？

 

生：增加AG,BG,CG,DG,EG,FG六种车票，所以直接用15+6=21就行了。

师：刚才我们总结出了规律！有了规律8个站点要准备多少种票还难吗？

生：从7开始加到1，答案是28

师：有了规律100个站点还怕吗？

生:不怕！从99开始加到1。

【评析】用猜想验证的方法让学生探索6个站点的车票数，再次激起学生的探索欲望，也巧妙地将学生的思维引向对规律的寻求上，在这个过程中，学生积极地进行数学思考，较好地发展了学生探究与解决问题能力；数形结合探寻规律，加学深了学生对规律的把握与理解，培养了学生的几何直观能力和推理能力。

四、运用拓展、建构模型 。

师：我们用智慧帮助小鼹鼠解决了“数路线”和“数车票”的问题，还发现了此类问题的规律。小鼹鼠的妈妈又提出了问题，你们能解决吗？（出示）

1. 数角：一共有几个锐角?你是怎么数的？

2.“握手问题”问题：四名同学，每两人握一次手，一共要握多少次？

3.“体育赛场”中的问题：乒乓球比赛，有9名参赛选手，每个选手都要和其他选手赛一场，一共要比多少场？

（独立解答后交流）

生1:先数最小的角，再数有两个小角组成的角，最后数最大的角。3+2+1=6

生2：我把角的每条射线标上字母分别为A、B、C、D，角的顶点用O表示，以OA为起边的角有角AOB、角AOC、角AOD共3个，以OB为起边的角有角BOC、角BOD共2个，以OC为起边的角是角COD，总共6个。

师：按顺序也有两种数法。

生3：第一位同学跟剩下三位同学握3次，第二位同学跟剩下一两位同学握2次，第三位同学跟剩下一位同学握1次，共3+2+1=6次。

师：哦，他把“握手问题”想象成数线段来解决！

生4：我把9名参赛选手看成9个点，也可以转化为数线段来解决8+7+6+5+4+3+2+1=36

师:这就是数学神奇的地方，握手问题、比赛场次也运用到了我们今天学习的知识。

【评析】将所学的知识能在不同的情境中运用，是学生理解知识、能力发展的标志，教师精心选取这三个问题让学生“知一类、会一片”，“数线段”模型在问题解决中达到顺利建构。

五、小结收获

师：这节课快要结束了，你有什么收获？

生答略

【总评】

本课是解决问题的教学，解决问题内容教学的目标，不是为了解决某个具体问题，而是让学生在解决问题的过程中感悟数学的思想、方法、策略，提升思维能力。丁老师的课清晰地把握了这一教学目标，具有以下特点。

1．抓住解决问题的核心要素展开教学，有利于学生思维能力的形成。

根据加涅学习条件的理论，学生问题的解决需要三类能力，一是相关知识、技能的运用能力，二是表征对问题的理解能力，三是相关策略方法运用的能力。在这里，丁老师抓住解决问题的核心要素展开了教学过程。

先是帮助学生正确理解问题情境。课始，在拟人化的情境中，教师按排了探讨“鼹鼠可以怎样钻洞”活动，第一次不设限制条件，让学生说怎样钻，学生的思维是发散的；第二次增加“往前走”的要求，让学生思维聚合到一个方向；两者对比思考，让学生充分理解问题的含义，这是形成思维能力的关键。类似地，“菜地旅行”情境教师也是同法处理的。

再是帮助学生唤醒方法策略。在学生明确题意的基础上，教师提出“一共有多少种不同的路线？”让学生探讨，此时大多数学生仍不知如何思考，教师及时给出提示：“怎样用示意图表示题意，看谁画的简明？再来帮助小鼹鼠数一数，怎样做到不重复不遗漏”唤醒学生画图解决问题的经验，在直观图形的帮助下，学生悟出两种数法，体验到方法的多样，数学思维的力量。在小学数学很多解决问题内容教学中，抓解决问题策略意识的培养、抓方法的多样化的培养是成形学生思维能力的核心。

2．有设计地引导学生在数学活动过程中感悟思想、方法，有利于学生思维能力的提升。

在解决问题的过程中，教师设计了多个探究活动，每个活动中数学思想、方法的体验、感悟都是丁老师的关注点。如“鼹鼠可以怎样钻洞”活动中，教师利用对学生回答的评价，引导学生体验将洞口按位置不同分类可以清楚简明表达路线；“探究一共有多少种不同的路线”活动中，通过对学生三个图形的比较， 将生活问题抽象数学问题，巧妙地揭示课题，让学生体验数学思考的方法，接着再通过对不同数法比较，引导学生悟出“不重复、不遗漏”数的前提就是按一定标准分类，再次体验了分类思想；“探索规律”活动中，让学生用前后联系、数形结合发现线段端点数与线段条数之间的规律，经历了推理的过程；最后的练习环节中，通过对不同情境的问题解决，让学生进一步内化新知，发展认知结构，体验“数学建模”的过程。上述活动中，学生不断思考、发现、归纳、应用，在教师的引导下数学活动过程与思想方法的获得融会贯通，与学生的思维互相促进。

关注数学思方法，是数学教学的本质要求，如何引导学生在数学活动中积累经验，感悟思想方法，提升思维能力，本课做了有益的实践。

附板书设计：

           

数图形的学问

          顺序：出发点  线段长短 

         4个点： 3+2+1=6

         5个站点：4+3+2+1=10

         6个站点：5+4+3+2+1=15

         7个站点：6+5+4+3+2+1=21

         8个站点：7+6+5+4+3+2+1=28